纯粹数学的雪崩效应:庞加莱猜想何以造福了精准医疗?

2016-04-12 顾险峰 赛先生


图1 庞加莱猜想电脑三维模型

顾险峰 (纽约州立大学石溪分校终身教授,清华大学丘成桐数学科学中心访问教授,计算共形几何创始人)

最近英国上议院议员马特瑞德利(Matt Ridley)在《华尔街日报》上撰文《基础科学的迷思》(The Myth of Basic Science)。他认为“科学驱动创新,创新驱动商业”这一说法基本上是错误的,反而是商业驱动了创新,创新驱动了科学,正如科学家被实际需求所驱动,而不是科学家驱动实际需求一样。总之,他认为“科学突破是技术进步的结果,而不是原因”。

瑞德利先生的言论反映了许多人对基础科学的严重误解,会给年轻学子们带来思想混乱和价值观念上的困扰,有必要加以澄清。诚然,商业需求和工程实践会为基础科学提供研究的素材,比如历史上最优传输理论(OptimalMass Transportation Theory)和蒙日-安培方程(Monge-Ampere)起源于土石方的运输,最后猜想被康塔洛维奇解决,康塔洛维奇为此获得了诺贝尔经济学奖。数年前,为了解决医学图像的压缩问题,陶哲轩提出了压缩感知(Compressive Sensing)理论。但是,从根本上而言,基础科学的源动力来自于科学家对于自然真理的好奇和对美学价值的追求。基础科学上的突破,因为揭示了自然界的客观真理,往往会引发应用科学的革命。纯粹数学的研究因为其晦涩抽象,实用价值并不明显直观,普罗大众一直倾向于认为其“无用”。但实际上,纯粹数学对应用科学的指导作用是无可替代的。

计算机科学和技术发展的一个侧面就在于将人类数千年积累的知识转换成算法,使得没有经历过职业训练的人也可以直接使用最为艰深的数学理论。在拓扑和几何领域,往往很多具有数百年历史的定理仅仅在最近才被转换成算法。但是,依随计算机技术的迅猛发展,从定理到算法的过程日益加速。很多新近发展的数学理论被迅速转换成强有力的算法,并在工程和医疗领域被广泛应用。

历史一再表明,以满足人类好奇心为出发点的基础理论研究,其本质突破往往不能引起当时人类社会的重视,宛若冰川旷谷中一声微弱的呐喊,转瞬间随风消逝,但是这一声往往会引发令天空变色,大地颤抖的雪崩。庞加莱猜想的证明就是一个鲜明的实例,虽然雪崩效应还没有被大众所察觉,但是雪崩已经不可逆转地开始了!

1  庞加莱猜想

法国数学家庞加莱(Jules Henri Poincaré)是现代拓扑学的奠基人。拓扑学研究几何体,例如流形,在连续形变下的不变性质。我们可以想象曲面由橡皮膜制成,我们对橡皮膜拉伸压缩,扭转蜷曲,但是不会撕破或粘联,那么这些形变都是连续形变,或被称之为拓扑形变,在这些形变下保持不变的量就是拓扑不变量。如果一张橡皮膜曲面经由拓扑形变得到另外一张橡皮膜曲面,则这两张曲面具有相同的拓扑不变量,它们彼此拓扑等价。如图2 所示,假设兔子曲面由橡皮膜做成,我们象吹气球一样将其膨胀成标准单位球面,因此兔子曲面和单位球面拓扑等价。

图2. 兔子曲面可以连续形变成单位球面,因此兔子曲面和球面拓扑等价。

兔子曲面无法连续形变成轮胎的形状,或者图3中的任何曲面。直观上,图5中小猫曲面有一个“洞”,或称“环柄”;图3中的曲面则有两个环柄。拓扑上,环柄被称为亏格。亏格是最为重要的拓扑不变量。所有可定向封闭曲面依照亏格被完全分类。


图3. 亏格为2的封闭曲面。亏格是曲面最重要的拓扑不变量。

庞加莱思考了如下深刻的问题:封闭曲面上的“洞”是曲面自身的内蕴性质,还是曲面及其嵌入的背景空间之间的相对关系?这个问题本身就是费解深奥的,我们力图给出直观浅近的解释。我们人类能够看到环柄形成的“洞”,是因为曲面是嵌入在三维欧式空间中的,因此这些“洞”反应了曲面在背景空间的嵌入方式,我们有理由猜测亏格反映了曲面和背景空间之间的关系。

图4. 曲面上生活的蚂蚁如何检测曲面的拓扑?

但是另一方面,假设有一只蚂蚁自幼生活在一张曲面上,从未跳离过曲面,因此从未看到过曲面的整体情形。蚂蚁只有二维概念,没有三维概念。假设这只蚂蚁具有高度发达的智力,那么这只蚂蚁能否判断它所生活的曲面是个亏格为0的拓扑球面,还是高亏格曲面?

图5. 亏格为1的曲面上,无法缩成点的闭圈。

庞加莱最终悟到一个简单而又深刻的方法来判断曲面是否是亏格为0的拓扑球面:如果曲面上所有的封闭曲线都能在曲面上逐渐缩成一个点,那么曲面必为拓扑球面。比如,我们考虑图5中小猫的曲面,围绕脖子的一条封闭曲线,在曲面上无论怎样变形,都无法缩成一个点。换言之,只要曲面亏格非零,就存在不可收缩成点的闭圈。如果流形内所有的封闭圈都能缩成点,则流形被称为是单连通的。庞加莱将这一结果向高维推广,提出了著名的庞加莱猜想:假设M是一个封闭的单连通三维流形,则M和三维球面拓扑等价。

图6. 带边界的三流形,用三角剖分表示。

在现实世界中,无法看到封闭的三维流形:正如二维封闭曲面无法在二维平面上实现,三维封闭流形无法在三维欧式空间中实现。图6显示了带有边界的三维流形,例如实心的兔子和实心的球体拓扑等价。这些三维流形用三角剖分来表示,就是用许多四面体粘合而成。如图所示,体的三角剖分诱导了其二维边界曲面的三角剖分。实心球实际上是三维拓扑圆盘,我们可以将两个三维拓扑圆盘沿着边界粘合,就得到三维球面,恰如我们可以将两个二维拓扑圆盘沿着边界粘合而得到二维球面一样。当然,这已经超出人们的日常生活经验。

2  曲面单值化定理

近百年来,庞加莱猜想一直是拓扑学最为基本的问题,无数拓扑学家和几何学家为证明庞加莱猜想而鞠躬尽瘁死而后已。相比那些最后成功的幸运儿,众多默默无闻,潦倒终生的失败者更加令人肃然起敬。老顾曾经访问过吉林大学数学学院,听闻了有关何伯和教授的生平事迹。何教授终生痴迷于庞加莱猜想的证明,苦心孤诣,废寝忘食,愈挫愈奋,九死不悔,直至生命终结,对于庞加莱猜想依然念念不忘。何教授绝对不是为了任何实用价值或者商业利益而奋斗终生的,而是为了对于自然界奥秘的好奇,对于美学价值的热切追求,这种纯粹和崇高,是人类进步的真正动力!


图7. 人脸曲面上连接两点的测地线。

作为拓扑学最为基本的问题,庞加莱猜想的本质突破却来自于几何。给定一个拓扑流形,如给定图6中四面体网格的组合结构,我们可以为每条边指定一个长度,使得每个四面体都是一个欧式的四面体,这样我们就给出了一个黎曼度量。所谓黎曼度量,就是定义在流形上的一种数据结构,使得我们可以确定任意两点间的最短测地线。图7显示了人脸曲面上的两条测地线。黎曼度量自然诱导了流形的曲率。曲率是表征空间弯曲的一种精确描述。给定曲面上三个点,我们用测地线连接它们成一个测地三角形。如果曲面为欧几里德平面,那么测地三角形内角和为180度。球面测地三角形的内角和大于180度,马鞍面的测地三角形的内角和小于180度。测地三角形内角和与180度的差别就是三角形的总曲率。那么,给定一个拓扑流形,我们能否选择一个最为简单的黎曼度量,使得曲率为常数呢?

图8. 曲面单值化定理,所有封闭曲面都可以保角地形变成常曲率曲面。

这一问题的答案是肯定的,这就是曲面微分几何中最为根本的单值化定理。单值化定理是说大千世界,各种几何形状千变万化,但是无论它们如何变化,都是万变不离其宗:所有的曲面都可以共形地变换成三种标准曲面中的一种,单位球面,欧几里德平面和双曲平面。标准空间对应着常数值曲率,+1,0和-1,如图8所示。所谓共形变换,就是保持局部形状的变换,局部上看就是相似变换。相似变换保持角度不变,因此共形变换也被称为是保角变换。图9显示了从曲面到平面的一个共形变换。单值化定理断言了所有封闭曲面可以配有三种几何中的一种:球面几何,欧氏几何和双曲几何。曲面微分几何中几乎所有的重要定理都绕不过单值化定理。


图9. 共形变换保持局部形状。

3  瑟斯顿几何化猜想

为了证明庞加莱猜想,菲尔兹奖得主瑟斯顿推广了单值化定理到三维流形情形。任何三维流形,都可以经历一套标准手续分解成一系列的最为简单的三维流形,即所谓的素流形。素流形本身无法被进一步分解,同时这种分解本质上是唯一的。瑟斯顿提出了石破天惊的几何化猜想:所有的素三维流形可以配有标准黎曼度量,从而具有8种几何中的一种。特别地,单连通的三维流形可被配有正的常值曲率度量,配有正的常值曲率的3维流形必为3维球面。因此庞加莱猜想是瑟斯顿几何化猜想的一个特例。

图10. 瑟斯顿的苹果,几何化猜想。

图10显示了瑟斯顿几何化的一个实例。假设我们有一个苹果,三只蛀虫蛀蚀了三条管道,如左帧所示,这样我们得到了一个带边界的三维流形。根据几何化纲领,这个被蛀蚀的苹果内部容许一个双曲黎曼度量,使得其边界曲面的曲率处处为-1。我们将配有双曲度量的苹果周期性地嵌在三维双曲空间之中,得到右帧所示图形。

4  哈密尔顿的里奇曲率

本质的突破来自于哈密尔顿的里奇曲率流(Hamilton’s Ricci Flow)。哈密尔顿的想法来自经典的热力学扩散现象。假设我们有一只铁皮兔子,初始时刻兔子表面的温度分布并不均匀,依随时间流逝,温度渐趋一致,最后在热平衡状态,温度为常数。哈密尔顿设想:如果黎曼度量依随时间变化,度量的变化率和曲率成正比,那么曲率就像温度一样扩散,逐渐变得均匀,直至变成常数。如图11所示,初始的哑铃曲面经由曲率流,曲率变得越来越均匀,最后变成常数,曲面变成了球面。

图11. 曲率流使得曲率越来越均匀,直至变成常数,曲面变成球面。

在二维曲面情形,哈密尔顿和Ben Chow证明了曲率流的确将任何一个黎曼度量形变成常值曲率度量,从而给出了曲面单值化定理的一个构造性证明。但是在三维流形情形,里奇曲率流遇到了巨大的挑战。在二维曲面情形,在曲率流过程中,在任意时刻,曲面上任意一点的曲率都是有限的;在三维流形情形,在有限时间内,流形的某一点处,曲率有可能趋向于无穷,这种情况被称为是曲率爆破(blowup),爆破点被称为是奇异点(singularity)。

如果发生曲率爆破,我们可以将流形沿着爆破点一切两半,然后将每一半接着实施曲率流。如果我们能够证明在曲率流的过程中,曲率爆破发生的次数有限,那么流形被分割成有限个子流形,每个子流形最终变成了三维球面。如果这样,原来流形由有限个球粘合而成,因而是三维球面,这样就证明了庞加莱猜想。由此可见,对于奇异点的精细分析成为问题的关键。哈密尔顿厘清了大多数种类奇异点的情况,佩雷尔曼解决了剩余的奇异点种类。同时,佩雷尔曼敏锐地洞察到哈密尔顿的里奇流是所谓熵能量的梯度流,从而将里奇流纳入了变分的框架。佩雷尔曼给出了证明的关键思想和主要梗概,证明的细节被众多数学家进一步补充完成。至此,瑟斯顿几何化猜想被完全证明,庞加莱猜想历经百年探索,终于被彻底解决。

5 庞加莱猜想带来的计算技术

庞加莱猜想本身异常抽象而枯燥:单连通的闭3-流形是三维球面,似乎没有任何实用价值。但是为了证明庞加莱猜想,人类发展了瑟斯顿几何化纲领,发明了哈密尔顿的里奇曲率流,深刻地理解了三维流形的拓扑和几何,将奇异点的形成过程纳入了数学的视野。这些基础数学上的进展,必将引起工程科学和实用技术领域的“雪崩”。比如,里奇曲率流技术实际上给出了一种强有力的方法,使得我们可以用曲率来构造黎曼度量

里奇曲率流属于非线性几何偏微分方程,里奇流的方法实际上是典型的几何分析方法,即用偏微分方程的技术来证明几何问题。几何分析由丘成桐先生创立,庞加莱猜想的证明是几何分析的又一巨大胜利。当年瑟斯顿提倡用相对传统的拓扑和几何方法,例如泰西米勒理论和双曲几何理论来证明,也有数学家主张用相对组合的方法来证明,最终还是几何分析的方法拔得头筹。

哈密尔顿的里奇流是定义在光滑流形上的,在计算机的表示中,所有的流形都被离散化。因此,我们需要建立一套离散里奇流理论来发展相应的计算方法。历经多年的努力,笔者和合作者们建立了离散曲面的里奇曲率流理论,证明了离散解的存在性和唯一性。因为几乎所有曲面微分几何的重要问题,都无法绕过单值化定理。我们相信离散曲率流的计算方法必将在工程实践中发挥越来越重要的作用 [1]


图12. 离散里奇流计算的带边曲面单值化。

图8和图12显示了离散里奇流算出的封闭曲面和带边界曲面的单值化。本质上,这两幅图统摄了现实生活中所有可能的曲面,它们都被共形地映到了三种标准曲面上,球面、欧氏平面和双曲平面。这意味着,如果我们发明了一种新的几何算法,适用于这三种标准曲面,那么这一算法也适用于所有曲面。因此,离散曲率流的技术极大地简化了几何算法设计。

6 精准医疗

庞加莱猜想所诱发的离散曲率流方法被广泛应用于精准医疗领域。人体的各种器官本质上都是二维曲面或三维流形,曲率流方法对于这些器官几何特征的分析和比较起到了不可替代的作用。


图13. 虚拟肠镜技术。

虚拟肠镜 

直肠癌是男子的第四号杀手,仅在心脑血管疾病之后。中年之后,每个人都会自然长出直肠息肉,息肉会逐年增长,如果息肉直径达到一定尺寸,由于摩擦息肉会发生溃疡,长期溃疡会导致癌变。但是直肠息肉的生长非常缓慢, 一般从息肉出现直到临界尺寸需要七八年,因此对息肉的监控对于预防直肠癌起着至关重要的作用。中年人应该每两年做一次肠镜检查。传统的肠镜检查方法需要对受检者全身麻醉,将光学内窥镜探入直肠。老年人肠壁比较薄弱,容易产生并发症。同时,肠壁上有很多皱褶,如果息肉隐藏在皱褶中,医生会无法看到而产生漏检。

近些年来,北美和日本采用了虚拟肠镜技术。受检者的直肠图像由断层扫描技术来获取,直肠曲面可以从图像重建出来,如图14所示。我们需要将直肠展开摊平,从而使所有皱褶暴露出来,以便于寻找息肉和测量它们的尺寸。同时,如图13所示,在检查中同一受检者的直肠被扫描两次,每次扫描都是采用不同的姿态。直肠曲面柔软而富有弹性,不同的扫描得到的曲面之间相差很大的弹性形变。我们需要在两张曲面间建立光滑双射。在两张三维曲面间建立映射相对困难,当我们将曲面摊开展平成平面长方形后,在平面区域间计算映射会简单很多。将直肠曲面摊开展平等价于为曲面赋上一个曲率处处为0的黎曼度量,我们可以直接应用里奇曲率流的算法加以实现,如图14所示。

图14. 用里奇曲率流将直肠曲面摊开展平。

目前,虚拟肠镜技术在北美和日本被广泛采用,(但在中国还没有普及),主要是因为这种方法可以提高安全性,降低漏检率,降低人力成本。虚拟肠镜技术的普及极大地提高了早期直肠癌的发现几率,降低了直肠癌的死亡率,为人类的健康事业做出了巨大贡献。


图15. 虚拟膀胱镜。

同样的方法可以用于膀胱等其他器官,如图15所示。膀胱癌的最主要特征是膀胱壁变厚,同时内壁不再光滑,出现菜花状的几何纹理。这些症状可以用虚拟膀胱镜的方法定量得到。传统膀胱镜的方法病人需要忍受很大的痛苦,虚拟膀胱镜的方法极大地减轻了病患的疼痛,因而具有很大的优势。


图16. 用里奇曲率流将大脑皮层曲面共形映到单位球面,以便于对照比较。

脑神经疾病的预防诊断

脑退化症(Alzheimer’s disease,俗称老年痴呆症),癫痫,儿童自闭症等脑神经疾病严重地威胁着人类的健康安全。对于这些疾病的预防和诊断具有重要的现实意义。通过核磁共振成像技术,我们能够获取人类的大脑皮层曲面,如图16所示。大脑皮层曲面的几何非常复杂,有大量的皱褶沟回结构,并且这些几何结构因人而异,依随年龄变化而变化。例如老年痴呆症往往伴随大脑皮层一部分区域的萎缩。为了监控病情的发展,我们需要每隔几个月就扫描一下病人的大脑,然后将不同时期得到的大脑皮层曲面进行精确地对比。在三维空间中直接对比难度很高,我们非常容易将不同的沟回错误地对齐,算法落入在局部最优陷阱中。如图16所示,我们将大脑皮层曲面共形地映到球面上,然后在球面之间建立光滑映射,这种方法更加简单而精确。将大脑皮层映到球面等价于为大脑皮层曲面赋以曲率为+1的黎曼度量,我们可以用里奇曲率流的方法得到。


图17. 大脑海马体的几何分析。

如果说大脑皮层是数据库,那么海马体就是数据库的索引,如图17所示。如果海马体发生病变,长期记忆就无法形成,同时大脑中的长期记忆也无法被取出。很多神经疾病都能够引起海马体的变形,例如癫痫、吸毒、脑退化症等等。对海马体的几何形状进行定量比较分类是非常重要的。一种精确的方法是将海马体共形映到单位球面上,则面积的变化率给出了初始黎曼度量的全部信息,再加上平均曲率,那么海马体的所有几何信息被完美保留。换言之,我们将海马体曲面转换为球面上的两个函数(面积变化率,平均曲率)。在球面上比较不同的海马体曲面,从而精确衡量曲面之间的相似程度,进行分类诊断。相比于传统方法,这种基于几何的诊断方法更加定量而精确。

图18. 人脸曲面的精确匹配。

美容技术

在美容手术领域中,术后效果评估是重要的一个环节,这需要将术前和术后的人脸曲面进行精确的匹配。如图18所示,我们扫描了同一个人的带有不同表情的两张人脸曲面,然后在人脸曲面之间建立了精确的双射。平静表情的人脸上每一个小圆映到微笑表情的人脸上对应的小椭圆,由此我们可以测量对应点的几何变化。因此,三维人脸曲面间精确映射是美容领域中至关重要的技术。


图19. 三维人脸曲面被共形地映到二维平面上,所用方法就是里奇曲率流。

如图19所示,我们用里奇曲率流方法,将人脸曲面的黎曼度量变成曲率为0的平直度量,将三维人脸曲面平铺到二维平面上面,然后在二维平面区域之间建立光滑双射,从而诱导三维人脸曲面间的双射。当然,这种方法也可以用于三维人脸识别,但是人脸识别对于映射的精确度要求没有如此之高。

在精准医疗的其他领域,例如牙齿整形、人造心脏瓣膜、人造骨骼、放射治疗实时监控、肝脏手术计划等等,都需要对各种人体器官进行影像获取、几何重建、特征分析等,里奇流方法都会起到重要的作用。

7 总结和展望

庞加莱猜想本身纯粹而抽象:单连通的闭三维流形是三维球面,这一猜想本身似乎并没有任何实用价值。其结论的简单直观,往往给非数学专业人员无病呻吟之感。但是纯粹数学所追求的严密性迫使无数拓扑和几何学家们前仆后继,奉献终身,终于在众多数学家的共同努力下完成了证明。二维曲面的几何化定理——单值化定理从理论证明到算法提出,历经了百年;三维流形的瑟斯顿几何化纲领从理论证明到算法提出,几乎是同时。三维流形的拓扑理论和计算理论一开始就深刻地纠缠在一起。这表明,在现代,依随计算机技术的发展,纯粹理论到应用算法的开发周期越来越短。

同时,我们看到,在证明庞加莱猜想的过程中,瑟斯顿的几何化纲领将三维流形的风景一览无遗,哈密尔顿的里奇流给出从曲率来构造黎曼度量的强有力的工具,哈密尔顿和佩雷尔曼的奇点演化理论使得原来理论的禁区被彻底打破。笔者和许多数学家发展了离散里奇流的理论和算法,并且系统性地将曲率流应用到许多工程和医疗领域。在实践中,我们深深体会到,在许多关键的应用中,曲率流的方法无法被其它任何方法所取代。目前在社会实践中,里奇流在二维曲面上的应用已经开始逐步展开。但是里奇流在三维流形上的应用更为深邃奥妙,强悍有力,目前还没有任何实际应用。一方面因为三维流形远远超越日常生活经验,另一方面也是因为和曲面微分几何相比,三维流形的拓扑和几何知识远未普及。但是作为自然真理的忠实刻画,迟早三维流形的拓扑和几何会在社会实践中大行其道。庞加莱猜想所引发的雪崩效应终究会改写历史进程。

当庞加莱提出他的拓扑猜想,瑟斯顿洞察三维流形的基本几何结构,哈密尔顿悟出里奇曲率流,佩雷尔曼看出哈密尔顿的曲率流本质上是所谓熵能量的梯度流,他们所追求的是体悟几何结构的壮美,和自然真理的深邃。他们绝不会将实用价值作为其终极目的。实用技术的积累往往只能带来进化(Evolutio),好奇心的满足却能真正带来革命(Revolution)。愿更多的年轻人在万丈红尘中,在浮躁喧嚣中,能够保持诚挚纯真,保持强烈好奇,保持对自然界美丽的敏感,保持对科学真理的激情!

(如果读者对于离散曲面里奇流的理论、算法和应用有兴趣,可以进一步查阅专著【1】)

参考文献

[1] W. Zeng and X. Gu, Ricci Flow for Shape Analysis and Surface Registration Theories, Algorithms and Applications, Springer 2013

延伸阅读

  如果没有基础科学,我们将会失去什么?②  视频 | 拓扑为何?

③  纯粹数学走出象牙塔:丘成桐和三维科技有何关系?

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